应该由公司承担赔偿责任。
司法依据：《
侵权责任法
》
第三十四条　用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。
劳务派遣
期间，被派遣的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由接受劳务派遣的
用工单位
承担侵权责任；
劳务派遣单位
有过错的，承担相应的补充责任。

针对此情况，叉车司机可以拒绝先行赔偿，让受损害方通过法律途径去起诉。法院审理时，要求把公司同列为被告即可解决此矛盾！

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